题型一
和、差、倍、分问题
和差倍分问题是列方程解应用题的基础知识，是十分重要的。
它奠定了我们分析和解决问题能力的基础，所以我们要高度重视，以此为起点，登上应用题的高峰。
1、和：即求几个量的和，用___+___。
2、差：即求两个量的差，用__-____。
3、倍：即求一个量的若干倍，用____x_。
4、分：即求一个量的分量，用___/___。
倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几……”来体现。
增长量＝原有量×增长率；
现在量＝原有量+增长量
例2、某农场有农田亩计划种旱田和水田。已知旱田是水田的3倍还多52亩，求水田和旱田各种多少亩。
解：设计划种水田_x_亩，则种旱田(3x+52)亩。
根据题意得：种水田亩数+种旱田亩数=农田总亩数
列方程得：x+(3x+52)=
解方程得：x=；则（3x+52）=
例：（秋?泗水县期末）了丰富学生课后服务活动，某校七年级开展了篮球兴趣班和足球兴趣班，现需要给每名兴趣班同学分别购买一个篮球或一个足球，篮球每个元，足球每个80元，结合图中两个学生的一段对话，求两个兴趣班各有多少人？
解：设参加篮球兴趣班的学生有x人，则参加足球兴趣班的学生有（x+30）人，
根据题意，得：x＝80（x+30），
解得x＝，
+30＝．
答：参加篮球兴趣班的学生有人，参加足球兴趣班的学生有人
（?陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
见试题解答内容
解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）元，
∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
2.（?雁塔区校级模拟）以井测绳．若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多半尺．则井深几何？题目大意：古人用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份测量，绳子比井深多五尺；如果将绳子折成四等份测量，则绳子比井深多半尺．求此水井的深度．
井深为13尺，绳长54尺．
解：设井深为x尺，则绳长为：3（x+5），依题意得：
3（x+5）＝4（x+0.5）．
解得x＝13，
则4（x+0.5）＝54尺．
答：井深为13尺，绳长54尺．
02题型二
行程问题
相遇问题：
甲走的路程+乙走的路程=两地距离
追及问题
同地出发：前者走的路程=追者走的路程；
不同地出发：
前者走的路程+两地距离=追者走的路程
某中学学生步行到郊外旅行，七年级（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/小时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/小时．
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？
(3)七年级（1）班出发多少小时后两队相距2千米？
（1）由后队走的路程＝前队先走的路程+前队后来走的路程，列出方程，求解即可；
（2）由路程＝速度×时间可求联络员走的路程；
（3）分三种情况讨论，列出方程求解即可．
解（1）设后队追上前队需要x小时，
根据题意得：（6﹣4）x＝4×1
∴x＝2
答：后队追上前队需要2小时，
（2）10×2＝20千米
答：联络员走的路程是20千米，
（3）设七年级（1）班出发t小时后，两队相距2千米，
当七年级（2）班没有出发时，t＝＝，
当七年级（2）班出发，但没有追上七年级（1）班时，4t＝6（t﹣1）+2
∴t＝2，
当七年级（2）班追上七年级（1）班后，6（t﹣1）＝4t+2
∴t＝4，
答：七年级（1）班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米．
本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论的思想，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
一列火车匀速行驶，经过一条长m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．
（1）设火车的长度为xm，用含x的式子表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程和这段时间内火车的平均速度；
（2）设火车的长度为xm，用含x的式子表示；从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程和这段时间内火车的平均速度；
（3）上述问题中火车的平均速度发生了变化吗？
（4）求这列火车的长度．
（1）根据火车长度为xm，根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出代数式即可；
（3）上述问题中火车的平均速度不发生变化；
（4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经过0.4小时相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了14.4千米，相遇后经0.1小时乙到达A地．问甲、乙两人的速度分别是多少？
分析可以用示意图来分析本题中的数量关系．
从图中可得如下的相等关系，
甲行驶0.4小时的路程＝乙行驶0.1小时路程，
甲行驶0.4小时的路程+14.4＝乙行驶0.4小时的路程．
根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程．
请你列方程解答中的问题．
对于上题，若乙出发0.2小时后行驶速度减少10千米/小时，问甲出发后经多少小时两人相距2千米？
[问题解决]设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是4x千米/小时，根据在相遇时乙比甲多行驶了14.4千米，列出方程计算即可求解；
[能力提升]设甲出发后经t小时两人相距2千米，分两种情况讨论：（1）甲、乙两人相遇前相距2千米，（2）甲、乙两人相遇后相距2千米，列出方程计算即可求解．
解：[问题解决]设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是4x千米/小时，依题意有
0.4x+14.4=0.4×4x，
解得x=12，
则4x=4×12=48．
故甲的速度是12千米/小时，乙的速度是48千米/小时；
[能力提升]设甲出发后经t小时相距2千米，
（1）甲、乙两人相遇前两人相距2千米，依题意有
12t+48×0.2+38（t-0.2）+2=24，
解得t=0.4；
（2）甲、乙两人相遇后相距2千米，依题意有
12t+48×0.2+38（t-0.2）-2=24，
解得t=0.48．
故甲出发后经0.4或0.48小时两人相距2千米．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是首先弄清题意，找到合适的等量关系，设出未知数，表示出乙的速度，列出方程．
03题型三
分配问题
某玩具生产厂家A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A车间工人总数是B车间工人总数的2倍．
(1)新分配到A、B车间各是多少人?
(2)A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务?
(1)新分配到A车间20人，分配到B车间5人
(2)A车间新增工人和生产线后比原来提前2天完成任务
（1）设新分配到A车间x人，则分配到B车间（25-x)人,根据题意列出方程求解即可；
（2）分别计算原来完成任务需要的天数，新添工人和生产线后需要的天数，作差即可．
(1)解：设新分配到A车间x人，则分配到B车间(25-x)人．
由题意可得：30+x=2(20+25-x)，解得x=20
∴新分配到A车间20人，分配到B车间5人．
(2)解：由（1）可得，分配后A车间共有50人，
∵每条生产线配置5名工人
∴分配工人前共有6条生产线，分配工人后共有10条生产线；
分配前，共需要的天数为30/6=5（天），
分配后，共需要的天数为30/10=3（天），
∴5-3=2（天），
∴A车间新增工人和生产线后比原来提前2天完成任务．
本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握一元一次方程的性质以及解法是解题的关键．
某城市平均每天产生垃圾吨，由甲，乙两个垃圾处理厂处理．已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，每吨需费用10元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，每吨需费用11元．
（1）甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需多少时间完成？
（2）如果该城市每天用于处理垃圾的费用为7元，那么甲厂每天处理垃圾多少吨？
（1）设每天需要m小时完成，根据甲乙两厂每小时处理垃圾的吨数列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设甲厂每天处理x吨垃圾，乙厂处理（-x）吨，根据费用为7元列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：（1）设每天需要m小时完成，
根据题意得：（55+45）m=，
解得：m=7，
则甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需7小时完成；
（2）设甲厂每天处理x吨垃圾，乙厂处理（-x）吨，
根据题意得：10x+11（-x）=7，
解得：x=．
则甲厂每天处理垃圾吨．
此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
大学生运动会将在成都召开，大批的大学生报名参与志愿者服务工作．某大学计划组织本校大学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配36座（不含司机）新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座（不含司机）新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．求计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名大学生志愿者？
计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有名志愿者．
设计划调配36座新能源客车辆，根据36座新能源客车的数量×36+2=22座新能源客车的数量×22-2，且22座新能源客车的数量=36座新能源客车的数量+4即可列出方程求解即可．
解：设计划调配36座新能源客车辆，则该大学志愿者有(36x+2)名．根据题意，得
36x+2=22(x+4)-2，
解得x=6．
∴36x+2=．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有名志愿者．
本题考查一元一次方程的应用．找准题中的等量关系，能依据等量关系列出方程是解题关键．
04配套问题
配套问题是一元一次方程中的一种常见问题，通常涉及到物品的配套使用和优化。这类问题具有以下特点：
1涉及多个物品或资源，它们之间存在一定的配套关系。
2.需要通过优化配置来满足某种需求或条件。
3.通常需要建立数学模型，通过方程求解来找到最优解。
七年级2班共有学生40人，老师组织学生制作圆柱形存钱罐．其中一部分人剪筒底，每人每小时制作40个；剩下的人剪筒身，每人每小时制作60个．要求一个筒身配两个筒底，那么应该如何分配人数，才能使每小时剪出的筒身和筒底恰好配套？（列方程求解）
根据题意可知一个圆柱形一个筒身需要两个筒底进行配套，则每小时需要的筒底的数量是筒身的数量的两倍，再根据每小时制作的数量=每人每小时制作的数量×人数，即可列出方程．
解：设有人x制作筒身，则有(40-x)人制作筒底，
根据题意列方程得：
2X60x=40(40-x)，
解得x=10，
∴有10人制作筒身，则有30人制作筒底，
答：让10人制作筒身，30人制作筒底能使每小时剪出的筒身和筒底恰好配套．
本题主要考查利用一元一次方程解决问题，根据题意列式求解即可，属于基础题型．
为了防控新冠病毒，某工厂要制作一批医用口罩，制作一个口罩要用一个口罩面体和2条松紧带．某车间有12名工人，每人每天可以生产0个口罩面体或条松紧带．为使每天生产的口罩面体和松紧带刚好配套，应安排生产口罩面体和松紧带的工人各多少名？
设安排x名工人生产口罩面体，能使每天生产的口罩面与松紧带刚好配套，则生产口罩松紧带的工人有（12-x）名，根据每名工人每天可以生产0个口罩面或个口罩松紧带，一个口罩面需要配2个口罩松紧带列方程，解方程即可求解即可．
设安排x名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与松紧带刚好配套，则生产口罩松紧带的工人有（12-x）名，依题意得：
（12-x）=0x·2，
解得x=8，
答：安排8名工人生产口罩面体、4名工人生产松紧带能使每天生产的口罩面与松紧带刚好配套．
考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
（秋?东港区校级期末）某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮9个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
每天安排30人加工大齿轮，安排54人加工小齿轮．
解：设每天加工的大齿轮的有x人，则每天加工的小齿轮的有（84﹣x）人，
根据题意可得；2×9x＝10（84﹣x），
解得：x＝30，
则84﹣30＝54（人）．
答：每天安排30人加工大齿轮，安排54人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
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